A+B Problem 小题大做(2)

vgakbzc 178 2

嗯,作者在咕咕咕了整整一个月后又来写 A + B Problem 了……

一看题目,发现 |a| , |b| <= 1e9 , 而且 a 和 b 还都是整数,所以我们自然而然地想到了要用高精度来计算啦 [aru_7]

然而作者太菜了不会写高精度 QAQ,所以作者就用 bitset 来实现了一个 512 位整数以及对应的加法运算,加法运算的原理,就是计算机中加法器的原理。

具体的来讲,就是 a + b = (a xor b) + (a and b) * 2,其中乘以二的操作可以用左移来表示,也就是说这样的加法可以全部由位运算来实现,只不过外面要包一层循环。

该结论证明:
首先,我们观察以下算式:(其中 ^ 表示异或,数字皆为二进制)
0 ^ 0 = 0, 0 & 0 = 0, 0 + 0 = 00
1 ^ 0 = 1, 1 & 0 = 0, 1 + 0 = 01
0 ^ 1 = 1, 0 & 1 = 0, 0 + 1 = 01
1 ^ 1 = 0, 1 & 1 = 0, 1 + 1 = 10
不难发现,任意两个一位的二进制数 a 和 b 相加所得的结果一定是 (a & b) * 2 + (a ^ b)
因此,我们可以得到:

A+B Problem 小题大做(2)

于是得证。

还有一个问题,就是如何将读入的十进制数转为二进制,以及将二进制转为十进制并输出……这个问题我们用满八减三法和满五加三法来解决。具体证明我也不太会,可以百度一下 [aru_25]

所以,这个问题就可以被“圆满”的解决了!下面贴上代码:

#include<bits/stdc++.h>
/*
* Code from vgakbzc
*/
typedef std::bitset<512> int512;
char buf[1007];
int512 StrToBCD(char* s){ 
	int len=strlen(s);
	int cur=0;
	int512 res;
	for(int i=len-1;i>=0;i--,cur+=4){ // String to bcd code
		int x=s[i]-'0';
		res[cur+0]=bool(x&1);
		res[cur+1]=bool(x&2);
		res[cur+2]=bool(x&4);
		res[cur+3]=bool(x&8);
	}
	return res;
}
int512 BCDToBIN(int512 bcd){ // bcd code to binary
	std::bitset<1024> tmp;
	tmp.reset();
	for(int i=512;i<1024;i++){
		tmp[i]=bcd[i-512];
	}
	for(int i=0;i<512;i++){
		tmp>>=1;
		for(int j=512;j<1024;j+=4){
			int p=tmp[j]+tmp[j+1]*2+tmp[j+2]*4+tmp[j+3]*8; // 满八减三
			if(p>=8){
				p-=3;
				tmp[j+0]=bool(p&1);
				tmp[j+1]=bool(p&2);
				tmp[j+2]=bool(p&4);
				tmp[j+3]=bool(p&8);
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<512;i++){
		bcd[i]=tmp[i];
	}
	return bcd;
}
void BCDToStr(int512 bcd,char* buf){ // bcd code to string
	memset(buf,0,sizeof(buf));
	for(int i=0;i<512;i+=4){
		buf[i/4]='0'+bcd[i]+bcd[i+1]*2+bcd[i+2]*4+bcd[i+3]*8;
	}
	for(int i=127;i>=0;i--){
		if(buf[i]!='0')break;
		else buf[i]=0;
	}
	int len=strlen(buf);
	std::reverse(buf,buf+len);
}
int512 BINToBCD(int512 bin){ // binary to bcd code
	std::bitset<1024> tmp; // 由于数据范围,这里假设 bcd 码不超过 512 位。实际上是有可能超过 512 位的
	tmp.reset();
	for(int i=0;i<512;i++){
		tmp[i]=bin[i];
	}
	for(int i=0;i<512;i++){
		for(int j=512;j<1024;j+=4){
			if(tmp[j+3]||tmp[j+2]&&(tmp[j+1]||tmp[j])){ // 满五加三,写法与上面不同
				std::bitset<4>res; // 3 -> 0011
				res[0]=tmp[j]^1;
				res[1]=tmp[j]&1;
				res[2]=(res[1]&tmp[j+1])||(tmp[j+1]&1)||(1&res[1]);
				res[1]=tmp[j+1]^1^res[1];
				res[3]=(res[2]&tmp[j+2])||(tmp[j+2]&0)||(0&res[2]);
				res[2]=tmp[j+2]^0^res[2];
				res[3]=tmp[j+3]^0^res[3];
				tmp[j]=res[0],tmp[j+1]=res[1],tmp[j+2]=res[2],tmp[j+3]=res[3];
			}
		}
		tmp<<=1;
	}
	for(int i=512;i<1024;i++){
		bin[i-512]=tmp[i];
	}
	return bin;
}
int512 operator+(int512 a,int512 b){ // 加法,很简短 AwA
	while(b.any()){
		int512 t1=a^b,t2=a&b;
		a=t1,b=t2<<1;
	}
	return a;
}
std::istream& operator>>(std::istream& in,int512 &a){ // 封装输入
	in>>buf;
	a=BCDToBIN(StrToBCD(buf[0]=='-'?buf+1:buf));
	if(buf[0]=='-'){
		int i=0;
		while(a[i]==0){
			i++;
		}
		i++;
		while(i<512){
			a[i]=!a[i];
			i++;
		}
	}
	return in;
}
std::ostream& operator<<(std::ostream& out,int512 a){ //·封装输出
	if(a[511]==1){
		out<<'-';
		int i=0;
		while(a[i]==0){
			i++;
		}
		i++;
		while(i<512){
			a[i]=!a[i];
			i++;
		}
	}
	BCDToStr(BINToBCD(a),buf);
	if(strlen(buf)==0){
		buf[0]='0';
	}
	out<<buf;
	return out;
}
int main(){ // 主函数
	int512 a,b;
	std::cin>>a>>b;
	std::cout<<a+b;
}

这次代码可比上次长多了……真的是小题大做吧 [aru_39]

PS:站长已修改此博文

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  1. 光阴似箭
    光阴似箭 Lv 3

    博主厉害,我都不会[emoji_38]

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